数学建模：必备数学与 Python 基础

专题学习地图 · 第 2 / 27 篇

学习目标与先修知识

目标是读懂后续公式，而不是背完全部数学名词。你会区分标量、向量和矩阵，理解求和、均值、方差、导数与概率，并能把它们翻译为 NumPy 运算。先修只需要四则运算、一次函数，以及 Python 的变量和列表；下面也解释最常用的代码语法。

问题背景与使用时机

假设要根据面积和卧室数估计租金。一套房有多个属性，多套房又形成一张表。向量和矩阵就是组织这张表的语言；导数描述参数改一点会怎样；概率描述尚未知道的结果；统计量概括已经收集的数据。

遇到公式先问三件事：每个符号是什么、单位是什么、尺寸是否对得上。不要看到矩阵就先寻找求逆函数。

核心概念与符号

从一个数到一张表

标量是一个数，如面积 50。向量是一列或一排数，如一套房的特征 $\boldsymbol x=(50,2)^T$ 。矩阵按行放样本、按列放特征：

X=\begin{bmatrix}50&2\\80&3\\100&3\end{bmatrix}\in\mathbb R^{3\times2}.

$\mathbb R$ 表示实数集合， $3\times2$ 表示 3 行、2 列， $T$ 表示转置。 $X\boldsymbol w$ 要求 $\boldsymbol w$ 有 2 个分量，结果有 3 个分量。矩阵乘法按“行与列对应相乘再相加”，不是逐元素相乘。

统计量与导数

$\sum_{i=1}^n x_i$ 表示把 $n$ 个数相加； $\bar x=\frac1n\sum x_i$ 是样本均值。描述一组数自身的离散程度可用 $\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2$ ；估计总体方差时常用分母 $n-1$ 的样本方差 $s^2$ 。标准差 $s$ 与原数据单位一致，方差单位是原单位的平方。

导数 $f'(x)$ 是局部变化率，微分 $dy=f'(x)dx$ 是一阶近似变化量。对多参数损失，每个偏导只改变其中一个参数，所有偏导组成梯度 $\nabla J$ 。最小化时常向负梯度方向走。

概率与条件

$P(A)$ 是事件 A 的概率， $P(A\mid B)$ 是已知 B 时 A 的概率。独立意味着 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ；“相关小”一般不能推出独立。期望 $\mathbb E[X]$ 是按概率加权的平均，不保证每次都出现这个数值。

$\exp(x)=e^x$ ， $\ln x$ 是它的反函数，只对正数定义。对数把乘积变成加法，这会在概率模型中反复出现。

手算一个最小例子

取两个向量 $\boldsymbol x=(2,3)^T$ 、 $\boldsymbol w=(4,1)^T$ ，内积为 $2\times4+3\times1=11$ ，欧氏长度为 $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ 。

对数据 $2,4,6$ ，均值为 4，离均差平方和为 $4+0+4=8$ ，总体式方差为 $8/3$ ，样本方差为 $8/(3-1)=4$ ，样本标准差为 2。两种分母服务不同目的，不能混着比较结果。

设损失 $J(w)=(2w-6)^2$ 。链式法则给出 $J'(w)=2(2w-6)\times2$ 。在 $w=1$ 处梯度为 -16，学习率 $\eta=0.1$ 时：

w_{\mathrm{new}}=w-\eta J'(w)=1-0.1(-16)=2.6.

原损失 16，新损失 $(5.2-6)^2=0.64$ 。负梯度不是“参数一定减小”，而是让目标局部下降的方向。

建模步骤与完整案例

用三套房组织一个最小预测模型，暂不从数据学习系数，只验证计算过程。

假设单位统一：面积按平方米、卧室按间、租金按百元/月。模型为 $\hat y=0.4\,\text{面积}+2\,\text{卧室}+5$ 。面积系数的单位是“百元/月/平方米”，卧室系数是“百元/月/间”，截距为“百元/月”。

将特征组织成 $X$ ，权重组织成长度 2 的向量，再加截距。此时模型参数是人为给定的演示值；后续回归课才学习如何从观测估计它们。

Python 实现与结果解释

配套文件：查看或下载本篇完整脚本。

import numpy as np

X = np.array([[50., 2.], [80., 3.], [100., 3.]])
w = np.array([0.4, 2.0])
prediction = X @ w + 5.0
print("形状:", X.shape, w.shape, prediction.shape)
print("预测租金（百元/月）:", prediction)
assert np.allclose(prediction, [29., 43., 51.])

values = np.array([2., 4., 6.])
print("均值、样本方差:", values.mean(), values.var(ddof=1))
weight = 1.0
gradient = 4 * (2*weight - 6)
weight -= 0.1 * gradient
print("更新后的参数:", weight)
assert np.isclose(weight, 2.6)

# 条件概率：总共100人，20人带伞；其中12人遇到下雨。
print("已知带伞时下雨的样本比例:", 12/20)

array 将列表转成数值数组；@ 是矩阵乘法；shape 返回尺寸；allclose 判断浮点结果是否在容差内接近。ddof=1 把方差分母改为 $n-1$ 。

Python 的 = 是赋值，== 是比较；for i in range(3) 依次产生 0、1、2。切片 a[:2] 取前两项，a[2:] 从第 3 项取到结尾。def 定义函数，return 返回结果。后续示例中的 random_state 或随机种子用于固定可复现的随机过程，不会使模型自动更准确。

方法选择与常见误区

数组 X * w 按元素广播相乘，结果还是一张表；X @ w 才是每行的加权和。
标准差与标准误不同：前者描述个体差异，后者描述估计量的抽样波动。例如均值的标准误常估计为 $s/\sqrt n$ 。
导数是局部量，学习率过大仍可能让损失上升。
$P(A\mid B)$ 通常不等于 $P(B\mid A)$ 。上例不能从“带伞者中 60% 遇雨”推出“下雨者中 60% 带伞”。
随机样本的实际平均数通常不会恰好等于理论期望。出现差异不等于计算错误，必须结合样本量看。
浮点数只保留有限精度，例如0.1加0.2可能不与0.3逐位相等。用合理绝对和相对容差检查数值；约为 $10^{-15}$ 的舍入差别不应解释为有业务意义的变化。

练习

$X$ 为 $5\times3$ 、 $\boldsymbol w$ 为长度 3， $X\boldsymbol w$ 有几个数？
求 $1,3,5$ 的均值、样本方差、样本标准差。
$J(w)=(w-4)^2$ ，从 $w=0$ 、学习率 0.25 更新一步得到多少？
20 个带伞者中 12 人遇雨。如果不知道下雨者总人数，能否算出“雨天带伞比例”？

参考答案

5 个，每一行对应一个预测。若权重有 4 项，就无法完成这个矩阵乘法。
均值 3，离均差平方和 8，样本方差 4，样本标准差 2。
梯度 $2(w-4)=-8$ ，更新为 $0-0.25(-8)=2$ ，新损失为 4。
不能。还缺少“遇雨总人数”这个分母；条件概率必须先明确条件所限定的人群。

复习卡片与下一步

复习时检查：会看 $n\times d$ 的样本表；会按行列完成内积；会区分方差与标准误；会解释导数和条件概率。下一篇把这些量放进真实的数据清理流程，再在回归课中学习参数估计。

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参考资料

Datawhale《数学建模导论》第1章：用于建立知识目录，建议与本篇的手算和案例对照阅读。
NumPy 初学者指南：数组、轴与形状。
NumPy 方差：ddof 的定义。