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数学建模 第 11 / 28 篇

数学建模：权重生成与综合评价

更新于 2026 年 10 月 21 日 数学建模
综合评价 AHP 熵权 TOPSIS 零基础
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本文目录 14 个小节

专题学习地图 · 第 11 / 27 篇

学习目标与先修知识

目标是区分指标、权重与排名，手算加权分数和 TOPSIS，理解 AHP、熵权的假设，并检查权重改变后排名是否稳定。先修为比例、均值、对数和矩阵。评价不能代替真实预测验证，也不能自动决定价值偏好。

可回看：必备数学与 Python 基础。

问题背景与使用时机

三种设备中哪一种更适合采购？价格低、速度快、可靠性高通常不能同时最大化。综合评价需要先明确评价对象、指标方向和使用者偏好，再生成权重与总分。

不能先看想要的结果，再倒推一组能让它第一的权重。指标体系应有业务或文献依据，且避免把同一含义重复计权。

核心概念与符号

先统一方向和尺度

效益指标越大越好，成本指标越小越好。本篇采用 Min-Max 正向化：

zij={(xij−min⁡ixij)/(max⁡ixij−min⁡ixij),效益(max⁡ixij−xij)/(max⁡ixij−min⁡ixij),成本z_{ij}= \begin{cases} (x_{ij}-\min_i x_{ij})/(\max_i x_{ij}-\min_i x_{ij}),&\text{效益}\\ (\max_i x_{ij}-x_{ij})/(\max_i x_{ij}-\min_i x_{ij}),&\text{成本} \end{cases}

常量指标没有区分能力，应单独处理。适度指标如温度接近目标最佳，需要以偏离目标的程度定义效用，不能机械按越大越好。

权重怎样产生

AHP 用成对重要性判断建立正互反矩阵，aij=1/ajia_{ij}=1/a_{ji}。可从主特征向量或近似几何均值求权重。CI=(λmax⁡−m)/(m−1)CI=(\lambda_{\max}-m)/(m-1)，CR=CI/RICR=CI/RI；m=3 的常用 RI 为0.58。0.1 是常见一致性判断阈值，不证明偏好本身客观或正确。

熵权看各列的数据分布差异。令 pij=zij/∑izijp_{ij}=z_{ij}/\sum_i z_{ij}：

ej=−1ln⁡n∑ipijln⁡pij,wj=1−ej∑k(1−ek).e_j=-\frac1{\ln n}\sum_i p_{ij}\ln p_{ij},\qquad w_j=\frac{1-e_j}{\sum_k(1-e_k)}.

约定 0ln⁡0=00\ln0=0。差异更大的指标通常获更高权重；这是数据区分度，不等于业务重要性。

TOPSIS 怎样排名

令 vij=wjzijv_{ij}=w_jz_{ij}，理想点为各列最大值，负理想点为各列最小值。计算距离 Di+D_i^+、Di−D_i^-，接近度为：

Ci=Di−Di++Di−.C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}.

越大表示在当前指标、正向化和权重规则下越接近理想。若两距离都为0，则没有区分能力，不能强行得出排名。

手算一个最小例子

三个方案的正向化指标为 A=(1,0)、B=(0.5,0.5)、C=(0,1)，权重为 (0.6,0.4)。

加权后分别为 (0.6,0)、(0.3,0.2)、(0,0.4)。理想点 (0.6,0.4)，负理想点 (0,0)。因此 A 的 D+=0.4,D−=0.6,C=0.6D^+=0.4,D^-=0.6,C=0.6；B 到两点距离相同，C=0.5；C 的接近度为0.4。

若交换权重为 (0.4,0.6)，A 与 C 的排名反转。不是算错了，而是偏好变了。

AHP 中若三项权重为 (0.5,0.3,0.2)，令 aij=wi/wja_{ij}=w_i/w_j，则 Aw=3wAw=3w，λmax⁡=3\lambda_{\max}=3、CI=0，一致性完全满足。但这一数学一致性仍不说明实际使用者必须接受这些权重。

建模步骤与完整案例

案例：比较三种设备。价格分别为100、80、120；速度8、6、9；可靠评分90、85、80。价格为成本指标，其余为效益指标。假设这些评分可比，权重由使用者明确设为 (0.5,0.3,0.2)。

步骤为：核查指标含义与单位 → 正向化 → 检查常量与重复指标 → 确定权重来源 → 计算 TOPSIS → 改变价格权重观察排名 → 报告稳健性。

设备数量少时，归一化极值可能对某一设备敏感；增加或删除方案还可能改变相对尺度，因此应说明评价范围。

Python 实现与结果解释

配套文件：查看或下载本篇完整脚本。

import numpy as np

raw = np.array([[100., 8., 90.], [80., 6., 85.], [120., 9., 80.]])
benefit = np.array([False, True, True])
span = np.ptp(raw, axis=0)
assert np.all(span > 0)
positive = np.where(benefit,
                    (raw-raw.min(axis=0))/span,
                    (raw.max(axis=0)-raw)/span)

def topsis(z, weights):
    weighted = z*np.asarray(weights)
    best, worst = weighted.max(axis=0), weighted.min(axis=0)
    d_best = np.linalg.norm(weighted-best, axis=1)
    d_worst = np.linalg.norm(weighted-worst, axis=1)
    denominator = d_best+d_worst
    if np.any(denominator == 0):
        raise ValueError("没有区分能力，不能计算接近度")
    return d_worst/denominator

weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])
score = topsis(positive, weights)
print("正向化数据:", positive)
print("A/B/C接近度:", score, "排序:", np.argsort(-score))

# 熵权作为另一种权重来源，不能把它直接称为真实偏好。
probability = positive/positive.sum(axis=0)
terms = np.zeros_like(probability)
mask = probability > 0
terms[mask] = probability[mask]*np.log(probability[mask])
entropy = -terms.sum(axis=0)/np.log(len(raw))
diversity = 1-entropy
entropy_weights = diversity/diversity.sum()
print("熵权及其接近度:", entropy_weights, topsis(positive, entropy_weights))
assert np.isclose(entropy_weights.sum(), 1)

pairwise = weights[:, None]/weights[None, :]
eigenvalues = np.linalg.eigvals(pairwise)
lambda_max = eigenvalues.real.max()
CR = ((lambda_max-3)/2)/0.58
print("一致比较矩阵的CR:", CR)
assert abs(CR) < 1e-10

for cost_weight in [0.2, 0.5, 0.8]:
    w = np.array([cost_weight, (1-cost_weight)*0.6, (1-cost_weight)*0.4])
    print("价格权重:", cost_weight, "排名:", np.argsort(-topsis(positive, w)))

给定主观权重时，A、B、C的接近度约为0.584、0.617、0.358，排序为B、A、C；改用本例的熵权后排序为A、B、C。两种权重回答的偏好与区分度问题不同，并不是一方计算错误。CR在浮点运算中可能出现约 10−1510^{-15} 的微小负数，应按数值误差理解为0。

排名用 0、1、2 代表 A、B、C。应把结果翻译为“在这些偏好下，哪个方案得分较高”，并检查权重变动后是否反转，而不是宣称发现了无条件最好的设备。

方法选择与常见误区

AHP 适合能明确表达成对判断的场景；熵权适合用样本差异提供权重依据；TOPSIS 是合成评分规则，可以和不同权重来源组合。这三者解决的环节不同。

CRITIC 同时考虑指标波动及相关冗余；模糊综合评价处理分级隶属度；秩和比使用秩信息；DEA 在投入产出假设下比较相对效率。选择它们前，需先说明当前指标和决策结构为何符合假设。不能仅因某方法名字“高级”就替代清楚的偏好讨论。

PCA 的目标是保留方差与减少冗余，不直接产生正确的价值权重；下一篇专门讲这个区别。

练习

  1. 价格越低越好，应如何处理方向？
  2. 某列所有方案数值相同，直接代入 Min-Max 会发生什么？
  3. CR 很小能否证明评价客观？
  4. 如果两组合理权重给出相反排名，应怎样汇报？

参考答案

  1. 使用成本型正向化，或先构造有业务依据的价格效用函数。
  2. 分母为0。该列不提供区分能力，应按规则移除或处理，不能悄悄添加极小量就声称含义不变。
  3. 不能。CR 只检查成对判断的一致程度，偏好来源与指标合理性仍需解释。
  4. 报告权重敏感、给出权衡条件及可接受方案，不隐藏不利的权重设置。

复习卡片与下一步

复习卡：指标先有依据，方向先统一，权重说明来源，得分只在当前规则下有效，排名必须做敏感性检查。下一篇解释为什么“方差大”与“评价重要”不是同一件事。

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参考资料

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