分数布朗运动：定义、性质与模拟方法

定义

分数布朗运动（fractional Brownian motion, fBm） $\{B_t^H\}_{t \geq 0}$ 是零均值连续高斯过程， $B_0^H = 0$ ，协方差函数为

\mathbb{E}\left[ B_t^H B_s^H \right] = \frac{1}{2} \left( t^{2H} + s^{2H} - |t - s|^{2H} \right),

其中 $H \in (0, 1)$ 称为 Hurst 指数。当 $H = 1/2$ 时退化为标准布朗运动。

Hurst 指数的含义

由协方差结构可推出增量 $B_{t+h}^H - B_t^H$ 的方差：

\mathbb{E}\left[ \left( B_{t+h}^H - B_t^H \right)^2 \right] = h^{2H},

增量分布只依赖间隔，因而是平稳增量；高斯过程结合协方差的缩放性质还能得到 $B_{ct}^H\overset{d}{=}c^H B_t^H$ ，这是过程的自相似性。仅凭增量方差的形式不能对任意过程推出这两条性质。相隔 $k$ 步的两个增量的相关系数为

\rho(k) = \frac{1}{2} \left( (k+1)^{2H} + |k-1|^{2H} - 2k^{2H} \right).

$H$ 的范围	增量相关性	直观含义
$H > 1/2$	正相关（长记忆）	增量有持续性，不等同于波动率聚集
$H = 1/2$	不相关	标准布朗运动
$H < 1/2$	负相关	增量反持续，路径更粗糙；过程本身不一定均值回归

金融波动率建模中常用的粗糙波动率模型（如 rough Heston）正是取 $H < 1/2$ ，因为实证发现对数波动率的 Hurst 指数约为 0.1 左右。

模拟方法

方法一：Cholesky 分解（精确）

在不含零时刻的网格 $t_i = i\Delta$ （ $i=1,\ldots,n$ ）上，协方差矩阵 $\Sigma_{ij} = \frac{1}{2}(t_i^{2H} + t_j^{2H} - |t_i - t_j|^{2H})$ 是对称正定的，分解 $\Sigma = LL^\top$ ，则 $B^H = LZ$ ， $Z \sim \mathcal{N}(0, I)$ 。

import numpy as np

def fbm_cholesky(n, H, T=1.0, seed=42):
    if isinstance(n, (bool, np.bool_)) or not isinstance(n, (int, np.integer)) or n < 1:
        raise ValueError("n 必须是正整数")
    if not np.isfinite([H, T]).all() or not 0 < H < 1 or T <= 0:
        raise ValueError("要求 0 < H < 1 且 T > 0")
    rng = np.random.default_rng(seed)
    t = np.linspace(0, T, n + 1)
    # B_0 = 0 是确定值；含 t=0 的协方差矩阵有零行列，不能直接 Cholesky。
    s, u = np.meshgrid(t[1:], t[1:])
    cov = 0.5 * (s**(2*H) + u**(2*H) - np.abs(s - u)**(2*H))
    L = np.linalg.cholesky(cov)
    path = np.concatenate(([0.0], L @ rng.standard_normal(n)))
    return t, path

缺点：复杂度 $O(n^3)$ ，网格点上万就不可行。

方法二：循环嵌入 + FFT（快速精确法）

利用 fBm 增量的平稳性，把协方差矩阵嵌入为循环矩阵，用 FFT 求其”平方根”，复杂度降到 $O(n \log n)$ 。这是实践中模拟长路径的标准做法（Davies–Harte / Wood–Chan 方法）；需要检查循环嵌入的特征值非负，不能无条件把显著负值截为 0 后仍称为精确模拟。

待深入

fBm 不是半鞅（ $H \neq 1/2$ 时），经典 Itô 积分理论不适用 → Wick 积分、粗糙路径理论
分数 Black-Scholes 模型中的套利问题及其修正

参考资料

Dieker 与 Mandjes：On spectral simulation of fractional Brownian motion：精确模拟、增量协方差和循环嵌入。